永井 貴博(ながい たかひろ)
東京大学大学院新領域創成科学研究科
基盤情報学専攻金田研究室修士2年
〒113-8658
東京都文京区弥生2-11-16
研究室：情報基盤センター3階
Email:
takahiro.nagai + at + klab.cc.u-tokyo.ac.jp
研究業績
1.永井貴博，吉田仁，黒田久泰，金田康正．SR11000モデルJ2における4倍精度積和演算の高速化．情報処理学会先進的計算基盤シンポジウム(SACSIS2007)，pp.129-136，2007
2.T.Nagai， Y.Hitoshi， H.Kuroda， Y.Kanada．Fast Quadruple Precision Arithmetic for Multiply/Add Operation on SR11000/J2，Proceedings of The 2007 International Conference on Scientific Computing (CSC'07)，pp.151-157，2007
3.永井貴博，吉田仁，黒田久泰，金田康正．SR11000モデルJ2における4倍精度積和演算の高速化．情報処理学会論文誌コンピューティングシステム Vol.48, No.SIG 13 (ACS 19), pp.214-222，2007
研究活動
情報処理学会 学生会員
ルジャンドル・ガウスの積分公式(Legendre-Gauss)
一般に、ガウス型積分公式(Gaussian quadrature)は不等間隔にx(i)を定め、少ない点数で精度よく積分値を計算するものである。
その中でもルジャンドル・ガウスの積分公式は、重み関数を1にしている。
区間[-1,1]における積分値の算法としては、分点x(i)と重みw(x)の積の総和である。
ところで、ある規格ではdouble型の仮数部ビットは52であり、有効桁数は約15から16桁である。
この状況でルジャンドル・ガウスの積分計算を行うにあたり、多くの参考書に記載されている分点x(i)や重みw(x)の
有効桁数が少なく(10桁程度)、誤差を少なく計算するためには上記の理由から実用的でない。
さらに、long double型を扱うにあたっては有効桁数が約33から34桁である。
よって、ここでは有効桁数が十分な分点x(i)と重みw(x)を以下に示す。具体的には小数点以下30桁までである。
この値は参考書[山内81]とほぼ等しいことを確認している。
手法としては、ルジャンドル多項式の漸化式から零点x(i)をニュートン法で求め、x(i)から重みw(x)を求めている。
具体的には、ニュートン・コーツ型の積分公式の1次補間多項式を用いる台形公式や、2次の補間多項式を用いる
シンプソンの公式より、少ない点数で精度よく計算できる。
ルジャンドル・ガウスの積分公式におけるlong double型の精度では、N=24位までは計算誤差を確認できる。
x(i) w(x)
N=1
0.000000000000000000000000000000 2.000000000000000000000000000000
N=2
0.577350269189625764509148780501 1.000000000000000000000000000000
-0.577350269189625764509148780501 1.000000000000000000000000000000
N=3
0.774596669241483377035853079956 0.555555555555555555555555555555
0.000000000000000000000000000000 0.888888888888888888888888888888
-0.774596669241483377035853079956 0.555555555555555555555555555555
N=4
0.861136311594052575223946488892 0.347854845137453857373063949222
0.339981043584856264802665759103 0.652145154862546142626936050778
-0.339981043584856264802665759103 0.652145154862546142626936050778
-0.861136311594052575223946488892 0.347854845137453857373063949222
N=8
0.960289856497536231683560868569 0.101228536290376259152531354309
0.796666477413626739591553936475 0.222381034453374470544355994426
0.525532409916328985817739049189 0.313706645877887287337962201986
0.183434642495649804939476142360 0.362683783378361982965150449277
-0.183434642495649804939476142360 0.362683783378361982965150449277
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N=16
0.989400934991649932596154173450 0.027152459411754094851780572456
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0.281603550779258913230460501460 0.182603415044923588866763667969
0.095012509837637440185319335424 0.189450610455068496285396723208
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N=32
0.997263861849481563544981128665 0.007018610009470096600407063738
0.985611511545268335400175044630 0.016274394730905670605170562206
0.964762255587506430773811928118 0.025392065309262059455752589789
0.934906075937739689170919134835 0.034273862913021433102687732252
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0.794483795967942406963097298970 0.058684093478535547145283637300
0.732182118740289680387426665091 0.065822222776361846837650063706
0.663044266930215200975115168663 0.072345794108848506225399356478
0.587715757240762329040745476401 0.078193895787070306471740918828
0.506899908932229390023747474377 0.083311924226946755222199074604
0.421351276130635345364119436172 0.087652093004403811142771462751
0.331868602282127649779916805730 0.091173878695763884712868577111
0.239287362252137074544603209165 0.093844399080804565639180237668
0.144471961582796493485186373598 0.095638720079274859419082002204
0.048307665687738316234812570440 0.096540088514727800566764830063
-0.048307665687738316234812570440 0.096540088514727800566764830063
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-0.934906075937739689170919134835 0.034273862913021433102687732252
-0.964762255587506430773811928118 0.025392065309262059455752589789
-0.985611511545268335400175044630 0.016274394730905670605170562206
-0.997263861849481563544981128665 0.007018610009470096600407063738
参考文献
1.[山内81] 電子計算機のための数値計算法V，山内二郎 宇野利雄 一松信，1971
2.[佐藤01] よくわかる数値計算，佐藤次男 中村理一郎，2001
2007年7月現在
リンク