つまりは1次素イデアルを求めたい。しかし、一般の素イデアルは数字で表現しきれない。そこで素イデアルと1対1対応がつく表現を行う。この表現方法を取る場合、x=αβ のときに α|x や β|x は確認できるが、 αβ→x と求めることはできない。
素数 q について
f(x)≡(x-s)g(x) (mod q) ただし g(s) mod q ≠ 0
を満たす s があれば、(s,q)のペア(Q(s,q)と表記する。(s,q)が明らかな場合はQと略記する場合も。)は f(x) の1次素イデアルの一つと対応する。多項式の素数を法とする因数分解については後述。「1次」とは (x-s) の因数式が1次ということ。
[ここは誤りを含んでいる可能性が高いです]
よく使われる例をここでも用います。Ｚ[√-5]において、つまり { a + b√(-5) | a, b ∈Ｚ } という数の集合の中で 6 を因数分解してみましょう。
6 = 2 × 3 = (1 + √-5)(1 - √-5)
ありゃ？2通りに分解できてしまいましたね。ということはこれでは普段当たり前に考えている「素因数分解の一意性」が成り立たなくなってしまいます。そこでクンマーさんは「理想数（イデアル）」を考えました。それに基づけば実は 6 = A・B・C・D という4つの理想数で分解できて、
AB = 2, CD = 3, AC = 1 + √-5, BD = 1 - √-5
という組み合わせになってるらしい。物理でいうクォークみたいなもんですかね？分解しようと思えば分解できるが、分解した結果はよく分からんものになってしまう。
実は四元数とかを使えば表現できる数かもしれないのですが、体を拡大することで次々と次元（四元数でいう i, j, kのこと）を増やさなきゃならなくなるため、一般的には数字を使って表わさないんだそうな。ということで2つイデアルを与えてその積を計算させるというのは正直無茶な話だけど、逆にある数とイデアルを与えて、その数がそのイデアルの倍数（？）になっているかどうかは確認できるらしい。